【正确答案】[证明] 因为f'(x)在[0，1]上连续，所以函数f'(x)在[0，1]上有最值．
设其最大值与最小值分别为M和m，即有
m≤f'(x)≤M，x∈[0，1]．
又由拉格朗日中值定理有
f(x)=f(x)-f(0)=xf'(x)，
则．
因m≤f'(ξ)≤M，故
xm≤xf'(ξ)≤xM(因x＞0)，
所以2mx≤2xf'(ξ)≤2xM．
因而，
即m≤≤M，
亦即m≤≤M．
对f'(x)使用介值定理，得到至少存在一点η∈[0，1]，使
f'(η)=

【答案解析】[解析] 因f'(x)在[0，1]上连续，如能证明