【正确答案】[证明] 方法一：(Ⅰ)F(-x)=，
若f(x)是偶函数，则有f(-x)=f(x)．故
上式=，
即F(x)也是偶函数．
(Ⅱ)欲证F(x)是单调减函数，则需证F'(x)＜0或F'(x)≤0且等号仅在某些点成立．
由已知
F(x)=，
则
因f(x)是单调减函数，t介于0与x之间，所以当x＞0时，f(x)-f(t)＜0，故F'(x)＜0；当x＜0时，f(x)-f(t)＞0，故F'(x)＜0；当x=0时，F'(0)=0．
即x∈(-∞，+∞)时，F'(x)≤0且付号仪在z=0时成立，因此F(x)也是单调减函数．
方法二：(Ⅰ)用函数奇偶性质，F(x)=．
因f(t)是偶函数，则tf(t)是奇函数，又f(t)是偶函数，知是奇函数，进而可知dt是偶函数；再由tf(t)是奇函数，知是偶函数．因此，由偶函数的性质知F(x)是偶函数．
(Ⅱ)由F(x)=，则F'(x)=xf(x)-，由积分中值定理知，存在一点ξ∈(0，x)，使得．故
F'(x)=xf(x)=f(ξ)x=x[f(x)-f(ξ)]．
与方法一同样讨诊可知F(x)是单调减函数．
注：为比较(x-a)f(x)或的大小，常用以下二式：
，
，ξ介于x与a之间
这时，有(x-a)f(x)-，
或(x-a)f(x)-