设L是一条平面曲线，其上任意一点m(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点
问答题
试求曲线L的方程；
【正确答案】正确答案：设曲线L过点P(x，y)的切线方程为Y—y=y"(X一x)，令X=0，则Y=一xy"+y，即它在y轴上的截距为一xy"+y。根据距离公式，点P(x，y)到坐标原点的距离为
。 故由题设条件得
此为一阶齐次微分方程，令y=ux，则
，代入上式，方程变为
。 故由题设条件得此为一阶齐次微分方程，令y=ux，则，代入上式，方程变为【答案解析】
问答题
求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形面积最小。
【正确答案】正确答案：由(I)知曲线的方程为
。则y"=一2x，点
，所以在点P处的切线方程为
分别令X=0，Y=0，解得在y轴，x轴上的截距分别为
此切线与两坐标轴围成的三角形面积为
由于该曲线在第一象限中与两坐标轴所围成的面积为定值，记为S
0
，于是题中所求的面积为
求最值点时与S
0
无关，而
根据极值存在的第一充分条件知
是S(x)在x＞0时的唯一极小值点，即最小值点，于是所求切线方程为
。则y"=一2x，点
，所以在点P处的切线方程为
分别令X=0，Y=0，解得在y轴，x轴上的截距分别为
此切线与两坐标轴围成的三角形面积为
由于该曲线在第一象限中与两坐标轴所围成的面积为定值，记为S
0
，于是题中所求的面积为
求最值点时与S
0
无关，而
根据极值存在的第一充分条件知
是S(x)在x＞0时的唯一极小值点，即最小值点，于是所求切线方程为
【答案解析】