【正确答案】 A

【答案解析】[解析] 对于①：设f(x)为奇函数，则f(x)cosnx也为奇函数，从而a _n =0 (n=0，1，2，…)，因此f(x)～ ．故①正确．
对于②：在区间[0，π]上定义的函数f(x)既可以做偶延拓展成余弦级数，也可以做奇延拓展成正弦级数．故②不正确．
对于③：设 ，可证F(x)在[-π，π]上连续，且以2π为周期，从而满足狄利克雷条件，可将F(x)展成傅里叶级数

其中

为了求A ₀ ，令z=0得

即
因此

即

故③正确．
对于④：由于f(2)=f(0)=0，即