问答题
设f(x
1
，x
2
，…，x
n
)=X
T
AX是正定二次型．证明：
问答题
f(x
1
，x
2
，…，x
n
)的平方项系数大于零；
【正确答案】
【答案解析】[证明] f(x
1
，x
2
，…，x
n
)=X
T
AX正定，对任意的X≠0，均有X
T
AX＞0，取X=ξ
1
=(1，0，…，0)
T
，则
．同理，取X=ξ
i
=(0，…，0，1，0…，0)
T
，则
．同理，取X=ξ
i
=(0，…，0，1，0…，0)
T
，则
问答题
|A|＞0．
【正确答案】
【答案解析】[证明] f(x
1
，x
2
，…，x
n
)=X
T
AX正定
问答题
举例说明上述两个条件均不是f(x
1
，x
2
，…，x
n
)正定的充分条件．
【正确答案】
【答案解析】当a
ii
＞0，i=1，2，…，n，f可以不正定．如
，a
11
=a
22
＞0，但f(1，-1)=0，f非正定．
当|A|＞0，f可以不正定．如
，|A|=1＞0，但
，a
11
=a
22
＞0，但f(1，-1)=0，f非正定．
当|A|＞0，f可以不正定．如
，|A|=1＞0，但