解答题
设
(Ⅰ)证明an+1＜an(n≥1)，且
；
(Ⅱ)求幂级数
(Ⅰ)证明an+1＜an(n≥1)，且
；(Ⅱ)求幂级数
【正确答案】
【答案解析】(Ⅰ)[证] 因为
时，0≤tanx≤1，且仅在x=0与
两处等号成立，所以
且an＞an+2，所以2an＞an+an+2，从而
因2n+2＜an+an+2，从而
得证．
(Ⅱ)[解] 由(Ⅰ)有
发散．又an+1＜an，并由已证
所以由莱布尼茨定理知
收敛，所以
条件收敛．从而知幂级数
时，0≤tanx≤1，且仅在x=0与两处等号成立，所以且an＞an+2，所以2an＞an+an+2，从而
因2n+2＜an+an+2，从而
得证．(Ⅱ)[解] 由(Ⅰ)有
发散．又an+1＜an，并由已证所以由莱布尼茨定理知收敛，所以条件收敛．从而知幂级数