解答题
24.[2014年] 设∑为曲面z=x2+y2(x≤1)的上侧，计算曲面积分
I=
I=
【正确答案】因∑非闭，补∑1：平面z=1被z=x2+y2所截部分下侧，得到
因∑1：z=1(x2+y2≤1)取下侧，∑和∑1围成的几何体为Ω，由高斯公式得到
∑和∑1所围立体Ω关于yOz平面及zOx平面对称，故
，而
因补加的曲面∑1为平行于坐标面xOy的平面，且z=1为常数，故dzdx=0，dzdy=0．于是
故
因∑1：z=1(x2+y2≤1)取下侧，∑和∑1围成的几何体为Ω，由高斯公式得到
∑和∑1所围立体Ω关于yOz平面及zOx平面对称，故
，而因补加的曲面∑1为平行于坐标面xOy的平面，且z=1为常数，故dzdx=0，dzdy=0．于是
故
【答案解析】