解答题
19.设随机变量(X，Y)～N(0，0；1，4；0)．
(Ⅰ)若X+Y与X+aY相互独立，求a的值，并求Z=X+aY的概率密度f(z)；
(Ⅱ)计算D(X2一2Y2)．
(Ⅰ)若X+Y与X+aY相互独立，求a的值，并求Z=X+aY的概率密度f(z)；
(Ⅱ)计算D(X2一2Y2)．
【正确答案】(Ⅰ)由X+Y与X+Y独立，有X+Y与X+aY不相关．又对二维正态分布ρXY=0←→X与Y独立．
故Cov(X+Y，X+aY)=Cov(X，X)+Coy(X，aY)+Cov(Y，X)+aCov(Y，Y)
=DX+aDY=1+a．4=0
则 a=一
．
(X，Y)～N(0，0；1，4；0)，则X～N(0，1)，Y～N(0，4)，且X与Y独立．
(Ⅱ)由X与Y独立，有X2与Y2独立，则D(X2一2Y2)=D(X2)+4D(Y2)．
故Cov(X+Y，X+aY)=Cov(X，X)+Coy(X，aY)+Cov(Y，X)+aCov(Y，Y)
=DX+aDY=1+a．4=0
则 a=一
．(X，Y)～N(0，0；1，4；0)，则X～N(0，1)，Y～N(0，4)，且X与Y独立．
(Ⅱ)由X与Y独立，有X2与Y2独立，则D(X2一2Y2)=D(X2)+4D(Y2)．
【答案解析】