问答题
设xOy平面第一象限中有曲线F:y=y(x)，过点A(0，
)，y'(x)＞0．又M(x，y)为
上任意一点，满足：弧段
的长度与点M处
的切线在x轴上的截距之差为
．
(Ⅰ) 导出y=y(x)满足的积分、微分方程和初始条件；
(Ⅱ) 求曲线
)，y'(x)＞0．又M(x，y)为上任意一点，满足：弧段的长度与点M处的切线在x轴上的截距之差为．(Ⅰ) 导出y=y(x)满足的积分、微分方程和初始条件；
(Ⅱ) 求曲线
【正确答案】[分析与求解] (Ⅰ)先求出，在点M(x，y)处的切线方程
Y-y(x)=y'(x)(X-x)，
其中(X，Y)是切线上点的坐标．在切线方程中令Y=0，得x轴上的截距
又弧段
的长度为
按题意得
①
这是积分、微分方程，两边对x求导，就可转化为二阶微分方程：
又由条件及①式中令x=0得
因此得初值问题
问题①与②是等价的．
(Ⅱ)下面求解②．这是不显含x的二阶方程，作变换p=y'，并以y为自变量得
分离变量得
．得
由
时
将上面两式相减
再积分得
其中
．则③就是所求曲线
Y-y(x)=y'(x)(X-x)，
其中(X，Y)是切线上点的坐标．在切线方程中令Y=0，得x轴上的截距
又弧段
的长度为按题意得 ①这是积分、微分方程，两边对x求导，就可转化为二阶微分方程：
又由条件及①式中令x=0得
因此得初值问题
问题①与②是等价的．
(Ⅱ)下面求解②．这是不显含x的二阶方程，作变换p=y'，并以y为自变量得
分离变量得
．得由
时将上面两式相减
再积分得
其中
．则③就是所求曲线【答案解析】