问答题
设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n阶实矩阵，B
T
为B的转置矩阵，试证B
T
AB为正定矩阵的充分必要条件是矩阵B的秩r(B)=n．
【正确答案】
【答案解析】[证] 必要性．设B
T
AB是正定矩阵，按正定定义
x≠0恒有x
T
(B
T
AB)x＞0即(Bx)
T
A(Bx)＞0
那么
x≠0恒有Bx≠0．从而齐次方程组Bx=0只有零解，故秩r(B)=n．
充分性．因为(B T AB) T =B T A T (B T ) T =B T AB，知B T AB为实对称矩阵．
当秩r(B)=n时，Bx=0只有零解，那么
x≠0恒有Bx≠0．因为A是正定矩阵，那么当Bx≠0时必有(Bx)
T
A(Bx)＞0，所以
x≠0恒有x
T
(B
T
AB)x＞0即(Bx)
T
A(Bx)＞0
那么
x≠0恒有Bx≠0．从而齐次方程组Bx=0只有零解，故秩r(B)=n．
充分性．因为(B T AB) T =B T A T (B T ) T =B T AB，知B T AB为实对称矩阵．
当秩r(B)=n时，Bx=0只有零解，那么
x≠0恒有Bx≠0．因为A是正定矩阵，那么当Bx≠0时必有(Bx)
T
A(Bx)＞0，所以