结构推理
3-19(单项选择题) 设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件为
(A)向量组α1，…，αm可由向量组β1，…，βm线性表示.
(B)向量组β1，…，βm可由向量组α1，…，αm线性表示.
(C)向量组α1，…，αm与向量组β1，…βm等价.
(D)矩阵A=[α1…αm]与矩阵B=[β1…βm]等价. [ ]
【正确答案】应选(D).
【答案解析】事实上，若β1，…βm线性无关，则矩阵A=[α1…αm]和矩阵B=[β1…βm]的秩都是m，A与B又是同型矩阵，故A与B等价.反过来，当A与B等价时，A与B的秩相同，而由题设知A的秩为m，故B=[β1…βm]的秩也为m，即向量组β1，…βm线性无关.
本题解答中利用了：同型矩阵A与B等价，当且仅当A与B的秩相等.注意，在本题中，当β1，…，βm线性无关时，虽然向量组α1，…，αm和向量组β1，…，βm的秩都为m，但此二向量组未必等价.例如向量组α1=(1，1，0)，α2=(1，2，0)和向量组β1=(0，2，2)，β2=(0，2，3)的秩都是2，但此二向量组不等价，故本题备选项(A)、(B)、(C)都不对.