单选题设函数f(x)在x=x ₀ 处存在三阶导数，且f"(x ₀ )=0，f"(x ₀ )=0，f"""(x ₀ )=a＞0，则

A、 f(x0)是f(x)的极小值．
B、 f(x0)是f(x)的极大值．
C、存在δ＞0，使得对任意的x∈(x0-δ，x0)，曲线y=f(x)是凹的；对任意的x∈(x0，x0+δ)，曲线y=f(x)是凸的．
D、存在δ＞0，使得对任意的x∈(x0-δ，x0)，曲线y=f(x)是凸的；对任意的x∈(x0，x0+δ)，曲线y=f(x)是凹的．

【正确答案】 D

【答案解析】[解析] 本题需用到如下结论：
设f(x)在x=x ₀ 处n阶可导(也就是说f(x ₀ )，f"(x ₀ )，f"(x ₀ )，…，f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ )均存在)，且f"(x ₀ )=0，f"(x ₀ )=0，…，f ^(n-1) (x ₀ )=0，f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ )≠0(n≥2)．
情况①：若n为偶数且f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ )＜0，则x=x ₀ 为极大值点；
情况②：若n为偶数且f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ )＞0，则x=x ₀ 为极小值点；
情况③：若n为奇数，则x=x ₀ 不是极值点而是拐点．
由于题中说f"(x ₀ )=0，f"(x ₀ )=0，f"""(x ₀ )=a＞0，故根据以上结论可得x=x ₀ 不是极值点而是拐点，所以函数值f(x ₀ )既不是函数f(x)的极大值，也不是函数f(x)的极小值，所以选项A和选项B都是错误的．
由于题中说f"""(x ₀ )=a，说明函数f"(x)在x=x ₀ 。处可导．根据可导的定义可知

将题中说的f"""(x ₀ )=a代入式(1)，得

将题中说的f"(x ₀ )=0代入式(2)，得

由式(3)可知

由于题中说a＞0，所以有

下面使用极限的局部保号性．
首先，对式(4)使用保号性，立刻可得：必存在一个x ₀ 的右去心邻域，使得当x在此邻域内取值时，有

既然x是在x ₀ 的右去心邻域内取值，那么就是说x＞x ₀ ，所以x-x ₀ ＞0．由于