选择题
8.α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且R(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α2+α3=(0，1，2，3)T．c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解x=( )．
【正确答案】
C
【答案解析】【思路探索】根据非齐次线性方程组解的结构，依次求出其导出组的基础解系和自身的一个特解即可．
根据线性方程组解的性质，可知2α1-(α2+α3)=(α1-α2)+(α1-α3)是非齐次线性方程组
Ax=b导出组Ax=0的一个解．因为R(A)=3，所以Ax=0的基础解系含4-3=1个解向量，而2α1-(α2+α3)=(2，3，4，5)T≠0，故是Ax=0的一个基础解系．因此Ax=b的通解为
α1+c(2α1-α2-α3)=(1，2，3，4)T+c(2，3，4，5)T，即(C)选项正确．对于其他几个选项，
(A)选项中(1，1，1，1)T=α1-(α2+α3)，
选项(B)中(0，1，2，3)T=α2+α3，
选项(D)中(3，4，5，6)T=3α1-2(α2+α3)，
都不是Ax=b的导出组的解．所以(A)、(B)、(D)项均不正确．
故应选(C)．
【错例分析】本题常见错误是未能准确求出Ax=0的基础解系，主要原因是错将α2+α3当作Ax=b的解，从而导致错误．
根据线性方程组解的性质，可知2α1-(α2+α3)=(α1-α2)+(α1-α3)是非齐次线性方程组
Ax=b导出组Ax=0的一个解．因为R(A)=3，所以Ax=0的基础解系含4-3=1个解向量，而2α1-(α2+α3)=(2，3，4，5)T≠0，故是Ax=0的一个基础解系．因此Ax=b的通解为
α1+c(2α1-α2-α3)=(1，2，3，4)T+c(2，3，4，5)T，即(C)选项正确．对于其他几个选项，
(A)选项中(1，1，1，1)T=α1-(α2+α3)，
选项(B)中(0，1，2，3)T=α2+α3，
选项(D)中(3，4，5，6)T=3α1-2(α2+α3)，
都不是Ax=b的导出组的解．所以(A)、(B)、(D)项均不正确．
故应选(C)．
【错例分析】本题常见错误是未能准确求出Ax=0的基础解系，主要原因是错将α2+α3当作Ax=b的解，从而导致错误．