解答题
5.(12年)设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为1的指数分布．记U＝max{X，Y)，V＝min{X，Y}．
(Ⅰ)求V的概率密度fV(v)；
(Ⅱ)求E(U＋V)．
(Ⅰ)求V的概率密度fV(v)；
(Ⅱ)求E(U＋V)．
【正确答案】由题意，可得X，Y的概率密度为
X，Y的分布函数为
(Ⅰ)设V的分布函数为FV(v)，则
FV(v)＝P{V≤v}＝P{min(X，Y}≤v}＝1－P{min(X，Y)＞v}
＝1－P{X＞v，Y＞v}＝1－P{X＞v}P{Y＞u}＝1－[P{X＞v}]2
＝1－[1－P(X≤v)]2＝1－[1－F(v)]2
∴fV(v)＝F′V(v)＝
X，Y的分布函数为
(Ⅰ)设V的分布函数为FV(v)，则
FV(v)＝P{V≤v}＝P{min(X，Y}≤v}＝1－P{min(X，Y)＞v}
＝1－P{X＞v，Y＞v}＝1－P{X＞v}P{Y＞u}＝1－[P{X＞v}]2
＝1－[1－P(X≤v)]2＝1－[1－F(v)]2
∴fV(v)＝F′V(v)＝
【答案解析】