解答题
18.求微分方程y”+a2y=sin x的通解，其中常数a＞0．
【正确答案】对应的齐次方程的通解为
Y=C1cosax+C2sinax．
(1)当a≠1时，特征根+ai≠±i．
设原方程的特解为y=Asinx+Bcosx，代入方程，得
A(a2—1)sinx+B(a2—1)cos x=sinx，
解得
故原方程的特解为
(2)当a=1时，设原方程的特解为y=x(Asinx+Bcosx)，代入原方程，得
2Acosx一2Bsinx=sinx．
解得
故原方程的特解为
综合上述讨论，得
当a≠1时，通解为y=C1cosax+C2sinax+
当a=1时，通解为y=C1cos x+C2sin x一
Y=C1cosax+C2sinax．
(1)当a≠1时，特征根+ai≠±i．
设原方程的特解为y=Asinx+Bcosx，代入方程，得
A(a2—1)sinx+B(a2—1)cos x=sinx，
解得
故原方程的特解为
(2)当a=1时，设原方程的特解为y=x(Asinx+Bcosx)，代入原方程，得
2Acosx一2Bsinx=sinx．
解得
故原方程的特解为
综合上述讨论，得
当a≠1时，通解为y=C1cosax+C2sinax+
当a=1时，通解为y=C1cos x+C2sin x一
【答案解析】