求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式：
(Ⅰ)f(x)=e
x
cosx(x
3
)；
(Ⅱ)f(x)=
(x
3
)；
(Ⅲ)f(x)=
(x
3
)；
(Ⅲ)f(x)=
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)e
x
=1+x+
x
3
+o(x
3
)，cosx=1-
x
2
+o(x
3
)， 相乘得 e
x
cosx=1+x+
x
3
+o(x
3
)=1+x-
x
3
+o(x
3
)． (Ⅱ)
f(x)=
[1-x+x
2
-x
3
-(1+2x+(2x)
2
+(2x)
3
)+o(x
3
)] =
(-3x-3x
2
-9x
3
)+o(x
3
)=-x-x
2
-3x
3
+o(x
3
)． (Ⅲ)
x
3
+o(x
3
)，cosx=1-
x
2
+o(x
3
)， 相乘得 e
x
cosx=1+x+
x
3
+o(x
3
)=1+x-
x
3
+o(x
3
)． (Ⅱ)
f(x)=
[1-x+x
2
-x
3
-(1+2x+(2x)
2
+(2x)
3
)+o(x
3
)] =
(-3x-3x
2
-9x
3
)+o(x
3
)=-x-x
2
-3x
3
+o(x
3
)． (Ⅲ)
【答案解析】