解答题
28.设V是向量组α1=(1，1，2，3)T，α2=(-1，1，4，-1)T，α3=(5，-1，-8，9)T所生成的向量空间，求V的维数和它的一个标准正交基．
【正确答案】由于
显然α1，α2线性无关且α3=2α1-3α2，因此向量空间V的维数是2，且α1，α2为它的一个基．为了求V的一个标准正交基，先将α1，α2正交化，令β1=α1=(1，1，2，3)T，
再将β1，β2单位化，得
显然α1，α2线性无关且α3=2α1-3α2，因此向量空间V的维数是2，且α1，α2为它的一个基．为了求V的一个标准正交基，先将α1，α2正交化，令β1=α1=(1，1，2，3)T，
再将β1，β2单位化，得
【答案解析】本题考查由一组向量所生成的向量空间的概念和标准正交基的化法．由于V是由α1，α2，α3所生成的向量空间，所以V的维数等于向量组α1，α2，α3的秩，且α1，α2，α3的任一极大线性无关组便是V的一个基．