问答题
求曲面x2+(y-1)2=1介于xOy平面与曲面
【正确答案】[分析与求解一] 记这部分曲面为∑，它关于yz平面对称，第一卦限部分曲面方程
于是∑的面积S为
先求曲面微元表达式：
再求投影区域Dyz. 由
消去x得z=y，这是Dyz的一条边界，另外的边界线是柱面x2+(y-1)2=1与yz平面的交线，即y=2以及y轴，于是
Dyz：0≤z≤y，0≤y≤2.
最后可求
[分析与求解二] 柱面x2+(y-1)2=1的准线是xOy平面上的圆周C：x2+(y-1)2=1，按柱面介于坐标面与它的上方曲面之间部分的面积公式，有
在C上，x2+y2=2y，于是
曲线C的参数方程：
x=cost，y=1+sint，t∈[0，2π]，
又
因此
于是∑的面积S为
先求曲面微元表达式：
再求投影区域Dyz. 由
消去x得z=y，这是Dyz的一条边界，另外的边界线是柱面x2+(y-1)2=1与yz平面的交线，即y=2以及y轴，于是Dyz：0≤z≤y，0≤y≤2.
最后可求
[分析与求解二] 柱面x2+(y-1)2=1的准线是xOy平面上的圆周C：x2+(y-1)2=1，按柱面介于坐标面与它的上方曲面之间部分的面积公式，有
在C上，x2+y2=2y，于是
曲线C的参数方程：
x=cost，y=1+sint，t∈[0，2π]，
又
因此
【答案解析】①设有Oxy平面上的光滑曲线L，以L为准线，母线平行于z轴作柱面，此柱面在xy平面与连续曲面z=f(x，y)(≥0)之间部分的面积为
本题中[分析与求解二]用的就是这个公式.
②我们也可用圆周C的显式方程
来计算曲线积分
此时将C分成y=1上方与下方两部分，分别记为C1与C2，在C1与C2上
相同，于是
③[分析与求解一]中对曲面∑：x=x(y，z)，y，z)∈Dyz，用的是面积计算公式
本题中[分析与求解二]用的就是这个公式.
②我们也可用圆周C的显式方程
来计算曲线积分
此时将C分成y=1上方与下方两部分，分别记为C1与C2，在C1与C2上相同，于是③[分析与求解一]中对曲面∑：x=x(y，z)，y，z)∈Dyz，用的是面积计算公式