解答题
2.设f(x)在[0，1]二阶可导，且|f(0)|≤a，|f(1)|≤a，|f"(x)|≤b，其中a，b为非负常数，求证：对任何c∈(0，1)，有
【正确答案】考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式：
有
f(x)=f(c)+f'(c)(x－c)+
f"(ξ)(x－c)2， (*)
其中ξ=c+θ(x－c)，0＜θ＜1．
在(*)式中，令x=0，得 f(0)=f(c)+f'(c)(－c)+
f"(ξ)c2，0＜ξ1＜c＜1；
在(*)式中，令x=1，得 f(1)=f(c)+f'(c)(1－c)+
f"(ξ2)(1－c)2，0＜c<ξ2＜1．
上面两式相减得 f(1)－f(0)=f'(c)+
[f"(ξ2)(1－c)2－f"(ξ1)c2]．
从而f'(c)=f(1)－f(0)+
[f"(ξ1)c2－f"(ξ2)(1－c)2]，两端取绝对值并放大即得
有f(x)=f(c)+f'(c)(x－c)+
f"(ξ)(x－c)2， (*)其中ξ=c+θ(x－c)，0＜θ＜1．
在(*)式中，令x=0，得 f(0)=f(c)+f'(c)(－c)+
f"(ξ)c2，0＜ξ1＜c＜1；在(*)式中，令x=1，得 f(1)=f(c)+f'(c)(1－c)+
f"(ξ2)(1－c)2，0＜c<ξ2＜1．上面两式相减得 f(1)－f(0)=f'(c)+
[f"(ξ2)(1－c)2－f"(ξ1)c2]．从而f'(c)=f(1)－f(0)+
[f"(ξ1)c2－f"(ξ2)(1－c)2]，两端取绝对值并放大即得【答案解析】