问答题
设A是3阶矩阵，λ
1
，λ
2
，λ
3
是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
，令β=ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
．
证明：
证明：
问答题
β不是A的特征向量；
【正确答案】
【答案解析】[证]已知Aβ=A(ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
)=λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
+λ
3
ξ
3
．
若β是A的特征向量，假设对应的特征值为μ,则有
Aβ=μβ=μ(ξ 1 +ξ 2 +ξ 3 )=λ 1 ξ 1 +λ 2 ξ 2 +λ 3 ξ 3 ，
从而得(μ-λ 1 )ξ 1 +(μ-λ 2 )ξ 2 +(μ-λ 3 )ξ 3 =0．
ξ 1 ，ξ 2 ，ξ 3 是不同特征值对应的特征向量，由定理知ξ 1 ，ξ 2 ，ξ 3 线性无关，从而得λ 1 =λ 2 =λ 3 =μ，这和λ 1 ，λ 2 ，λ 3 互不相同矛盾．故β=ξ 1 +ξ 2 +ξ 3 不是A的特征向量．
若β是A的特征向量，假设对应的特征值为μ,则有
Aβ=μβ=μ(ξ 1 +ξ 2 +ξ 3 )=λ 1 ξ 1 +λ 2 ξ 2 +λ 3 ξ 3 ，
从而得(μ-λ 1 )ξ 1 +(μ-λ 2 )ξ 2 +(μ-λ 3 )ξ 3 =0．
ξ 1 ，ξ 2 ，ξ 3 是不同特征值对应的特征向量，由定理知ξ 1 ，ξ 2 ，ξ 3 线性无关，从而得λ 1 =λ 2 =λ 3 =μ，这和λ 1 ，λ 2 ，λ 3 互不相同矛盾．故β=ξ 1 +ξ 2 +ξ 3 不是A的特征向量．
问答题
向量组β，Aβ，A
2
β线性无关．
【正确答案】
【答案解析】[证]
法一
用线性无关的定义证．
假设存在数k 1 ，k 2 ，k 3 ，使得 k 1 β+k 2 Aβ+k 3 A 2 β=0．
由β=ξ 1 +ξ 2 +ξ 3 及Aξ i =λ i ξ i ，i=1，2，3，代入得
整理得
因ξ 1 ，ξ 2 ，ξ 3 线性无关，则有
又λ i (i=1，2，3)互不相同，故方程组(*)的系数矩阵的行列式
故方程组(*)仅有零解，即k 1 =k 2 =k 3 =0，所以β，Aβ，A 2 β线性无关．
法二 用等价向量组、初等变换、秩等论证．因
其中
假设存在数k 1 ，k 2 ，k 3 ，使得 k 1 β+k 2 Aβ+k 3 A 2 β=0．
由β=ξ 1 +ξ 2 +ξ 3 及Aξ i =λ i ξ i ，i=1，2，3，代入得
整理得
因ξ 1 ，ξ 2 ，ξ 3 线性无关，则有
又λ i (i=1，2，3)互不相同，故方程组(*)的系数矩阵的行列式
故方程组(*)仅有零解，即k 1 =k 2 =k 3 =0，所以β，Aβ，A 2 β线性无关．
法二 用等价向量组、初等变换、秩等论证．因
其中