问答题
求下列旋转体的体积V：
(Ⅰ)由曲线x
2
+y
2
≤2x与y≥x确定的平面图形绕直线x=2旋转而成的旋转体；
(Ⅱ)由曲线y=3一｜x
2
—1｜与x轴围成封闭图形绕直线y=3旋转而成的旋转体．
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)对该平面图形，我们可以作垂直分割也可作水平分割． 作水平分割．该平面图形如图3．26．上半圆方程写成x=1一
(0≤y≤1)．任取y轴上[0，1]区间内的小区间[y，y+dy]，相应的微元绕x=2旋转而成的立体体积为
(Ⅱ)曲线y=3一｜x
2
—1｜与x轴的交点是(一2，0)，(2，0)．曲线y=f(x)=3一｜x
2
一1｜与x轴围成的平面图形，如图3．27所示． 显然作垂直分割方便．任取[x，x+dx]
[一2，2]，相应的小竖条绕y=3旋转而成的立体体积为 dV=π[3
2
一(3一f(x))
2
]dx=π(9一｜x
2
一1｜
2
)dx， 于是 V=π∫
—2
2
[9一(x
2
—1)
2
]dx=2π∫
0
2
[9一(x
4
—2x
2
+1)]dx =
(0≤y≤1)．任取y轴上[0，1]区间内的小区间[y，y+dy]，相应的微元绕x=2旋转而成的立体体积为
(Ⅱ)曲线y=3一｜x
2
—1｜与x轴的交点是(一2，0)，(2，0)．曲线y=f(x)=3一｜x
2
一1｜与x轴围成的平面图形，如图3．27所示． 显然作垂直分割方便．任取[x，x+dx]
[一2，2]，相应的小竖条绕y=3旋转而成的立体体积为 dV=π[3
2
一(3一f(x))
2
]dx=π(9一｜x
2
一1｜
2
)dx， 于是 V=π∫
—2
2
[9一(x
2
—1)
2
]dx=2π∫
0
2
[9一(x
4
—2x
2
+1)]dx =
【答案解析】