问答题
设函数f(x)处处可导，
试证：
试证：
【正确答案】先证{xn}单调．
由xn+1-xn=f(xn)-f(xn-1)=(xn-xn-1)f'(ξn)，其中ξn在xn与xn-1之间．
又由题设，f(x)处处可导，且
，于是知f'(ξn)≥0，从而(xn+1-xn)与(xn-xn-1)同号，故{xn}单凋．
再证{xn}有界．
综上所述知，{xn}单调有界．故由极限存在准则知，
存在．
设
，因f(x)处处可导，故f(x)处处连续，而xn=f(xn-1)，于是有
由xn+1-xn=f(xn)-f(xn-1)=(xn-xn-1)f'(ξn)，其中ξn在xn与xn-1之间．
又由题设，f(x)处处可导，且
，于是知f'(ξn)≥0，从而(xn+1-xn)与(xn-xn-1)同号，故{xn}单凋． 再证{xn}有界．
综上所述知，{xn}单调有界．故由极限存在准则知，
存在． 设
，因f(x)处处可导，故f(x)处处连续，而xn=f(xn-1)，于是有 【答案解析】[分析] 利用极限存在准则证明．