问答题
设函数f(x)与g(x)都可导，且F(x)=g(x)|f(x)|，求证：
(Ⅰ) 当f(x0)≠0时，F(x)在点x=x0处必可导；
(Ⅱ) 当f(x0)=0时，F(x)在点x=x0处可导的充分必要条件是f'(x0)g(x0)=0．
(Ⅰ) 当f(x0)≠0时，F(x)在点x=x0处必可导；
(Ⅱ) 当f(x0)=0时，F(x)在点x=x0处可导的充分必要条件是f'(x0)g(x0)=0．
【正确答案】[证明] (Ⅰ) 当f(x0)≠0时，由f(x)的连续性知：存在δ＞0，使得当|x-x0|＜δ时f(x)与f(x0)同号．若f(x0)＞0，则当|x-x0|＜δ时有
F(x)=g(x)|f(x)|=g(x)f(x)，
从而F(x)在x=x0处可导，且F'(x0)=g(x0)f'(x0)+g'(xo)f(x0)．类似可证当f(x0)＜0时F(x)也在x=x0处可导．
(Ⅱ) 当f(x0)=0时，F(x0)=g(x0)|f(x0)|=0，从而F(x)在点x=x0处的左导数与右导数分别是
故当f(x0)=0时，|F(x)|在点x=x0处可导的充分必要条件为
F(x)=g(x)|f(x)|=g(x)f(x)，
从而F(x)在x=x0处可导，且F'(x0)=g(x0)f'(x0)+g'(xo)f(x0)．类似可证当f(x0)＜0时F(x)也在x=x0处可导．
(Ⅱ) 当f(x0)=0时，F(x0)=g(x0)|f(x0)|=0，从而F(x)在点x=x0处的左导数与右导数分别是
故当f(x0)=0时，|F(x)|在点x=x0处可导的充分必要条件为
【答案解析】
