问答题
求证：|a|
p
+|b|
p
≤2
1-p
(|a|+|b|)
p
，(0＜p＜1)．
【正确答案】
【答案解析】证明：(1)先证当0≤x＜1，0＜p＜1时，有
2 1-p ≥x p +(1-x) p ≥1．
今F(x)=x p +(1-x) p ，
F"(x)=px p-1 -p(1-x) p-1 ，-1＜p-1＜0，F(x)在
上单调递增．F(x)在
上单调递减．
令F"(x)=0得
即
为最大值，又F(1)=F(0)=1，即1为其最小值．所以当0≤x≤1，0＜p＜1时，有2
1-p
≥x
p
+(1-x)
p
≥1．
(2)今
则
代入(1)的结论，即可得到
2 1-p ≥x p +(1-x) p ≥1．
今F(x)=x p +(1-x) p ，
F"(x)=px p-1 -p(1-x) p-1 ，-1＜p-1＜0，F(x)在
上单调递增．F(x)在
上单调递减．
令F"(x)=0得
即
为最大值，又F(1)=F(0)=1，即1为其最小值．所以当0≤x≤1，0＜p＜1时，有2
1-p
≥x
p
+(1-x)
p
≥1．
(2)今
则
代入(1)的结论，即可得到