解答题
19.设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)=1，f′(1)=0，f(2)=
【正确答案】 先作一个函数P(x)=ax3+bx2+cx+d，使得
P(0)=f(0)=1，P′(1)=f′(1)=0，P(2)=f(2)=
，P(1)=f(1)．
则P(x)=
+1，
令g(x)=f(x)－P(x)，则g(x)在[0，2]上三阶可导，且g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在c1∈(0，1)，c2∈(1，2)，使得g′(c1)=g′(1)=g′(c2)=0，又存在d1∈(c1，1)，d2∈(1，c2)使得g″(d1)=g″(d2)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(d1，d2)
P(0)=f(0)=1，P′(1)=f′(1)=0，P(2)=f(2)=
，P(1)=f(1)．则P(x)=
+1，令g(x)=f(x)－P(x)，则g(x)在[0，2]上三阶可导，且g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在c1∈(0，1)，c2∈(1，2)，使得g′(c1)=g′(1)=g′(c2)=0，又存在d1∈(c1，1)，d2∈(1，c2)使得g″(d1)=g″(d2)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(d1，d2)
【答案解析】