问答题
某建筑工地打地基时，需用汽锤将桩打进土层．汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功．设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k，k＞0)，汽锤第一次击打将桩打进地下am，根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0＜r＜1)．问
问答题
汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深?
【正确答案】设第n次击打后，桩被打进地下xn，第n次击打时，汽锤所作的功为Wn(n=1，2，3，…)．由题设，当桩被打进地下的深度为z时，土层对桩的阻力大小为kx，所以
[*]
由题设汽锤每次击打桩时所作的功与前次击打所作功之比为常数r知，
W2=rW1，W3=rW2=r2W1则前三次击打所作功总和为
W1+W2+W3=W1+rW1+r2W1=(1+r+r2)W1
=(1+r+r2)[*]
又 W1+W2+W3=[*]
从而有 [*]
则 [*]
即汽锤击打3次后，可将桩打进地下[*]米．
[*]
由题设汽锤每次击打桩时所作的功与前次击打所作功之比为常数r知，
W2=rW1，W3=rW2=r2W1则前三次击打所作功总和为
W1+W2+W3=W1+rW1+r2W1=(1+r+r2)W1
=(1+r+r2)[*]
又 W1+W2+W3=[*]
从而有 [*]
则 [*]
即汽锤击打3次后，可将桩打进地下[*]米．
【答案解析】
问答题
若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?(注：m表示长度单位米)
【正确答案】由归纳法可知
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于是 [*]
【答案解析】本题主要考查变力作功问题．
问答题
如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是由线C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2．4)．设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分
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【正确答案】解 由(3，2)是曲线y=f(x)的拐点知，f"(3)=0；由直线l1与l1分别是曲线y=f(x)在点(0，0)与(3，2)处的切线知，f'(0)=2，f'(3)=-2，f(0)=0，f(3)=2，利用分部积分法可得
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【答案解析】本题主要考查定积分的分部积分法及拐点的必要条件，导数的几何意义．