问答题
已知矩阵
【正确答案】解：(Ⅰ)实对称矩阵A的特征多项式为|λE-A|=(λ-1)2(λ-3)，
故A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=3．于是，A与对角矩阵[*]相似，又因为A与B相似，故B也与对角矩阵[*]相似，因此，B的特征值为λ1=λ2=1，λ3=3，且r(E-B)=1，又因为x+5=λ1+λ2+λ3=5，得x=0．
由[*]得y=-2，z=3．
(Ⅱ)经计算可知，将实对称矩阵A化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为P1=[*]，即[*]；
把矩阵B化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为[*]，即[*]．
取[*]
有[*]
故A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=3．于是，A与对角矩阵[*]相似，又因为A与B相似，故B也与对角矩阵[*]相似，因此，B的特征值为λ1=λ2=1，λ3=3，且r(E-B)=1，又因为x+5=λ1+λ2+λ3=5，得x=0．
由[*]得y=-2，z=3．
(Ⅱ)经计算可知，将实对称矩阵A化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为P1=[*]，即[*]；
把矩阵B化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为[*]，即[*]．
取[*]
有[*]
【答案解析】[考点] 矩阵相似．
[解析] 将A，B分别与同一个对角阵相似，再由相似的传递性，可得A，B相似．
许多考生直接求可逆矩阵P，导致做题思路出问题．