【答案解析】[证] (Ⅰ)因为A有n个互不相同的非零特征值λ=1，2，…，n，|A|=n!≠0，故A为可逆矩阵，从而有
   |λE-AB|=|A(λA^-1-B)|=|A(λE-BA)A^-1|=|A||λE-BA||A^-1|=|λE-BA|，
   即AB和BA有相同的特征多项式，故有相同的特征值
   又若取可逆矩阵P=A，则有P^-1ABP=A^-1ABA=BA，故有AB～BA．
   (Ⅱ)若AB有特征值λ=0，则AB=|A||B|=|B||A|=|BA|=0．故BA也有特征值λ=0．
   若AB有特征值λ≠0，按定义，有
   ABξ=λξ(ξ≠0)，
   其中ξ是AB的对应特征值λ的特征向量．
   用B左乘上式两端，得BABξ=λBξ，
   即BA(Bξ)=λ(Bξ)，
   其中Bξ≠0(若Bξ=0，则有ABξ=λξ=0．因ξ≠0，得λ=0，这和λ≠0矛盾)．BA也有非零特征值λ，对应的特征向量为Bξ．
   故AB和BA有相同的特征值．
   一般AB与BA不相似．例如，则有