解答题
设f(x)在[0，1]上二阶可导，|f"(x)|≤1(x∈[0，1])，f(0)=f(1)．证明：对任意的x∈[0，1]，有
【正确答案】
【答案解析】[证明] 对任意的x∈[0，1]，由泰勒公式得
，其中ξ1介于0与x之间；
，其中ξ2介于x与1之间．
两式相减得
，于是
由|f"(x)|≤1(x∈[0，1])，得
令φ(x)=(1-x)2+x2，令φ'(x)=0，得
，因为φ(0)=φ(1)=1，
，所以φ(x)=(1-x)2+x2在[0，1]上的最大值为1，故
，其中ξ1介于0与x之间；，其中ξ2介于x与1之间．两式相减得
，于是由|f"(x)|≤1(x∈[0，1])，得
令φ(x)=(1-x)2+x2，令φ'(x)=0，得
，因为φ(0)=φ(1)=1，，所以φ(x)=(1-x)2+x2在[0，1]上的最大值为1，故