选择题
设矩阵A=(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
)经行初等变换为矩阵B=(β
1
，β
2
，β
3
，β
4
)，且α
1
，α
2
，α
3
线性无关，α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性相关，则______．
A、
β
4
不能由β
1
，β
2
，β
3
线性表示
B、
β
4
能由β
1
，β
2
，β
3
线性表示，但表示法不唯一
C、
β
4
能由β
1
，β
2
，β
3
线性表示，且表示法唯一
D、
β
4
能否由β
1
，β
2
，β
3
线性表示不能确定
【正确答案】
C
【答案解析】
因为α
1
，α
2
，α
3
线性无关，而α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性相关，所以α
4
可由α
1
，α
2
，α
3
唯一线性表示，又A=(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
)经过有限次初等行变换化为B=(β
1
，β
2
，β
3
，β
4
)，所以方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=α
4
与x
1
β
1
+x
2
β
2
+x
3
β
3
=β
4
是同解方程组，因为方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=α
4
有唯一解，所以方程组x
1
β
1
+x
2
β
2
+x
3
β
3
=β
4
有唯一解，即β
4
可由β
1
，β
2
，β
3
唯一线性表示，选C．
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