解答题
2.(2002年试题。八)设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y){x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy．(1)设M(x0，y0)为区域D上一点，问h(x，y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为g(x0，y0)，试写出g(x0，y0)的表达式；(2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点．也就是说，要在D的边界线x2+y2一xy=75上找出使(1)中的g(x，y)达到最大值的点．试确定攀登起点的位置．
【正确答案】(1)由题设，结合方向导数取最大值的方向是梯度方向这一性质，
则
因此h(x，y)沿方向(y0—2x0)i+(x0一2y0)j方向导数为最大值，且此最大值为
(2)令f(x，y)=g2(x，y)=(y一2x)2+(x一2y)2，由题意只需求f(x，y)在约束条件φ(x，y)=75一x2一y2+xy=0下的条件最大值点，由拉格朗日乘数法，记F(x，y，λ)=f(x，y)+Aλφ(x，y)=(y一2x)2+(x一2y)2+λ(75一x2一y2+xy)则由
可解得λ=2或x+y=0．当λ=2时，可解出可能条件极值点为
当x+y=0时，可解出可能条件极值点为(5，一5)，(一5，5)．由于
则因此h(x，y)沿方向(y0—2x0)i+(x0一2y0)j方向导数为最大值，且此最大值为(2)令f(x，y)=g2(x，y)=(y一2x)2+(x一2y)2，由题意只需求f(x，y)在约束条件φ(x，y)=75一x2一y2+xy=0下的条件最大值点，由拉格朗日乘数法，记F(x，y，λ)=f(x，y)+Aλφ(x，y)=(y一2x)2+(x一2y)2+λ(75一x2一y2+xy)则由可解得λ=2或x+y=0．当λ=2时，可解出可能条件极值点为当x+y=0时，可解出可能条件极值点为(5，一5)，(一5，5)．由于【答案解析】许多求极值和最值的问题中，需根据实际问题首先建立目标函数或约束条件，然后再求极，最值．本题中因｜gradh｜为方向导数的最大值，故而将代为求｜gradh｜在条件x2+y2一xy=75F的条件极值，用拉格朗日乘数法求该条件极值．