问答题
设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且ψ’(x)=φ(x)，ψ(0)=0．
(1)求方程y’+ysin x=φ(x)e
cosx
的通解；
(2)方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由．
【正确答案】正确答案：(1)该方程为一阶非齐次线性微分方程，通解为 y=e
-∫sinxdx
[∫φ(x)e
cosx
e
∫sinxdx
dx+C] =e
cosx
[∫φ(x)e
cosx
.e
-cosx
dx+C] =e
cosx
[∫φ(x)dx+C]=e
cosx
[ψ[x)+C]， 其中C为任意常数． (2)因为ψ’(x)=φ(x)，所以ψ(x)=∫
0
x
φ(t)dt+C
1
．又ψ(0)=0，于是，ψ(x)=∫
0
x
φ(t)dt． ψ(x+2π)=∫
0
x+2π
φ(t)dt=∫
0
x
φ(t)dt+∫
x
x+2π
φ(t)dt=ψ(x)+∫
0
2π
φ(t)dt， 所以当∫
0
2π
φ(t)t=0时，ψ(x+2π)=ψ(x)，即ψ(x)以2π为周期． 因此，当∫
0
2π
φ(t)dt=0时，方程有以2π为周期的解．
【答案解析】