解答题
19.设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，证明：存在ξ∈(0，3)，使得f'(ξ)=0．
【正确答案】因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，3]上取到最小值m和最大值M．3m≤f(0)+f(1)+f(2)≤3M，即m≤1≤M，
由介值定理，存在c∈[0，3]，使得f(c)=1．
因为f(c)=f(3)=1，所以由罗尔定理，存在ξ∈(c，3)
由介值定理，存在c∈[0，3]，使得f(c)=1．
因为f(c)=f(3)=1，所以由罗尔定理，存在ξ∈(c，3)
【答案解析】