问答题
设曲线y=y(x)位于第一卦限且在原点处的切线与x轴相切，P(x，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为l
1
，点P处的切线与Y轴交于点A，点A，P之间的距离为l
2
，又满足x(3l
1
+2)=2(x+1)l
2
，求曲线y=y(x)．
【正确答案】
【答案解析】[解] 由已知条件得y(0)=0，y"(0)=0，
P(x，y)处的切线为Y-y=y"(X-x)，
令X=0，则Y=y-xy"，A的坐标为(0，y-xy")，
由x(3l 1 +2)=2(x+1)l 2 得
两边对x求导整理得1+y" 2 =2(x+1)y"y""．
令y"=p，
代入得1+p
2
=2(x+1)p
变量分离得
积分得ln(1+p 2 )=ln(x+1)+lnC 1 ，即1+p 2 =C 1 (x+1)，
由初始条件得C 1 =1，即
从而
再由y(0)=0得C 2 =0，故所求的曲线为
P(x，y)处的切线为Y-y=y"(X-x)，
令X=0，则Y=y-xy"，A的坐标为(0，y-xy")，
由x(3l 1 +2)=2(x+1)l 2 得
两边对x求导整理得1+y" 2 =2(x+1)y"y""．
令y"=p，
代入得1+p
2
=2(x+1)p
变量分离得
积分得ln(1+p 2 )=ln(x+1)+lnC 1 ，即1+p 2 =C 1 (x+1)，
由初始条件得C 1 =1，即
从而
再由y(0)=0得C 2 =0，故所求的曲线为