假设企业 F 是追求利润最大化的企业， 它的生产技术为： y＝f（x1 ， x2 ）， 其中 x1 ， x2是 F 所采用的两种投入要素， 我们假定这两种要素所处的市场是完全竞争的， 它们的价格分别为 w1 ， w2 。 另外， 企业 F 的产品所处的市场也是完全竞争的， F 只能以市场确定的价格 P 进行销售。 要求
请写出利润最大化企业 F 的目标函数；
利润最大化企业 F 的目标函数为 π＝Pf（x1 ， x2 ） －w1x1 －w2x2 。
给出目标函数的一阶条件， 以及二阶充分条件；
目标函数的一阶条件为∂π/∂x1 ＝Pf1 －w1 ＝0， ∂π/∂x2 ＝Pf2 －w2 ＝0， 二阶条件为 Pf11 ＜0， Pf22 ＜0。
写出成本最小化问题， 给出该问题的一阶条件；
成本最小化问题为：
构造拉格朗日函数： L＝w1 x1 ＋w2 x2 ＋λ[q0 －f（x1 ， x2 ） ]， λ 为拉格朗日乘子。
该问题的一阶条件为：
证明： 利润最大化的企业 F 必定是成本最小化的；
从（2） 和（3） 可以看出， 利润最大化的一阶条件和成本最小化的一阶条件是相同的， 此处的拉格朗日乘子就是产品价格。
完整的证明过程如下：
假设某一个要素使用组合 x * 实现了利润最大化， 并且这个利润最大化的要素组合包含于所有可行的要素使用组合之中， 即 x * ∈x（p， w）， 那么根据假设必有： Pf（x * ） －wx * ≥Pf（x） －wx。
现在假设 x * 并没有实现成本最小化， 则至少存在一个 x′， 使得： f（x′） ≥f（x * ）， 且 wx′＜wx * ， 这样可以得到：pf（x′） ≥pf（x * ）， 且－wx′＞－wx * 。 两个式子相加可以得到： pf（x′） －wx′＞pf（x * ） －wx * ， 也就是说，x * 并没有实现利润最大化， 这与假设是矛盾的， 所以实现了利润最大化的厂商必然也是实现了成本最小化的。
假设（3） 可以给出成本函数 c（y）， 请根据此成本函数写出新的利润最大化企业 F 的目标函数， 以及相应的优化一阶和二阶条件；
成本给定为 c（y） 的条件下， 利润最大化企业 F 的目标函数可以表示为： π＝py－c（y）， 此时的利润函数完全是产量的函数。 一阶条件为： p＝c′（y）， 二阶条件为： －c″（y） ﹤ 0， 即 c″（y） ﹥ 0。
根据（1） ～（5） 的提问逻辑， 请给出你对（3） 中拉格朗日乘子 λ 的理解。
在要素市场和产品市场都是完全竞争的条件下， 拉格朗日乘子 λ 就是产品市场上的价格向量。