填空题
设α为3维单位列向量，E为3阶单位矩阵，则矩阵E-αα
T
的秩为 1．
【正确答案】
【答案解析】2．
解1
若取单位向量α=(1，0，0) T ，则矩阵
的秩为2，本题作为填空题，要求一般成立的结果，自然应对个例成立，所以矩阵E=αα T 的秩为2．
解2
设3维单位列向量
，
矩阵
的左上角的2阶子式为
，所以矩阵E-αα
T
的秩至少是2；又由α
T
α=1，得(E-αα
T
)α=α-α(α
T
α)=0，知齐次线性方程组(E-αα
T
)x=0存在非零解α，所以矩阵E-αα
T
的秩小于3，综上知矩阵E-αα
T
的秩为2．
解3
记矩阵A=E-αα T ，则由α T α=1，易得A 2 =A，由此知A不可逆．(否则A可逆，用A -1 左乘A 2 =A两端，得A=E，这与A≠E矛盾(若A=E，则αα T =O，但αα T ≠0))，所以A不可逆(由此也可知A的秩小于3)，因此A有特征值为0．设A按列分块为A=(β 1 ，β 2 ，β 3 )，则由A 2 =A可得Aβ j =β j (j=1，2，3)，这表明β j 是A的属于特征值1的特征向量．以上说明A有特征值λ 1 =0，λ 2 =1．再由A的全部特征值之和=A的主对角线元素之和=
若取单位向量α=(1，0，0) T ，则矩阵
的秩为2，本题作为填空题，要求一般成立的结果，自然应对个例成立，所以矩阵E=αα T 的秩为2．
解2
设3维单位列向量
，
矩阵
的左上角的2阶子式为
，所以矩阵E-αα
T
的秩至少是2；又由α
T
α=1，得(E-αα
T
)α=α-α(α
T
α)=0，知齐次线性方程组(E-αα
T
)x=0存在非零解α，所以矩阵E-αα
T
的秩小于3，综上知矩阵E-αα
T
的秩为2．
解3
记矩阵A=E-αα T ，则由α T α=1，易得A 2 =A，由此知A不可逆．(否则A可逆，用A -1 左乘A 2 =A两端，得A=E，这与A≠E矛盾(若A=E，则αα T =O，但αα T ≠0))，所以A不可逆(由此也可知A的秩小于3)，因此A有特征值为0．设A按列分块为A=(β 1 ，β 2 ，β 3 )，则由A 2 =A可得Aβ j =β j (j=1，2，3)，这表明β j 是A的属于特征值1的特征向量．以上说明A有特征值λ 1 =0，λ 2 =1．再由A的全部特征值之和=A的主对角线元素之和=