解答题
7.设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值－1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3．
(Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关；
(Ⅱ)令P=[α1，α2，α3]，求P－1AP．
(Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关；
(Ⅱ)令P=[α1，α2，α3]，求P－1AP．
【正确答案】(Ⅰ)设存在一组常数k1，k2，k3，使得
k1α1+k2α2+k3α3=0 ①
用A左乘①式两端，并利用Aα1=－α1，Aα2=α2，
－k1α1+(k2+k3)α2+k3α3=0 ②
①－②，得
2k1α1－k3α2=0 ③
因为α1，α2是A的属于不同特征值的特征向量，所以α1，α2线性无关，从而由③式知k1=k3=0，代入①式得k2α2=0，又由于α2≠0，所以k2=0，故α1，α2，α3线性无关．
(Ⅱ)由题设条件可得
AP=A[α1，α2，α3]=[Aα1，Aα2，Aα3]
=[－α1，α2，α2+α3]
由(Ⅰ)知矩阵P可逆，用P－1左乘上式两端，得
P－1AP
k1α1+k2α2+k3α3=0 ①
用A左乘①式两端，并利用Aα1=－α1，Aα2=α2，
－k1α1+(k2+k3)α2+k3α3=0 ②
①－②，得
2k1α1－k3α2=0 ③
因为α1，α2是A的属于不同特征值的特征向量，所以α1，α2线性无关，从而由③式知k1=k3=0，代入①式得k2α2=0，又由于α2≠0，所以k2=0，故α1，α2，α3线性无关．
(Ⅱ)由题设条件可得
AP=A[α1，α2，α3]=[Aα1，Aα2，Aα3]
=[－α1，α2，α2+α3]
由(Ⅰ)知矩阵P可逆，用P－1左乘上式两端，得
P－1AP
【答案解析】