解答题
设二次型
经正交变换X=QY，化成
经正交变换X=QY，化成
【正确答案】
【答案解析】[解] 变换前后二次型的矩阵分别为
(1)由A～B
tr(A)=tr(B)，A、B特征值相同，即
(2)先求λ=2对应的特征向量
由于
所以
x1+x2+x3=0．
取x2为0，可得
要想
正交，只需考虑x1，x3即可，取x1=1，x3=1，则有
再求λ=-1的特征向量，设其为
由于实对称阵不同特征值对应的特征向量相互正交，所以
现正交化ξ1，ξ2，ξ3，得
令Q=(η1，η2，η3)，则有
(3)由题设可知
(1)由A～B
tr(A)=tr(B)，A、B特征值相同，即(2)先求λ=2对应的特征向量
由于所以
x1+x2+x3=0．
取x2为0，可得
要想
正交，只需考虑x1，x3即可，取x1=1，x3=1，则有再求λ=-1的特征向量，设其为
由于实对称阵不同特征值对应的特征向量相互正交，所以现正交化ξ1，ξ2，ξ3，得
令Q=(η1，η2，η3)，则有
(3)由题设可知