在一个经济系统里， 由消费者 A、 B 和公共品 z、 私人产品 x 构成。 消费者 A、 B 的效用函数分别为 UA＝xAz0.5 ， UB ＝xBz0.5 。 最初经济系统中私人产品数量为 24， 公共产品要用私人产品来生产， 成本函数为 x＝2z。该经济系统的福利函数为 W＝UAUB 。 求： 使福利最大化的公共产品的最佳产量是多少？
根据已知条件， 社会福利函数可以简化为如下形式： W＝UAUB ＝xA （24－2z－xA ） z。
福利最大化的一阶必要条件为： ∂W/∂xA ＝（24－2z－2xA ）· z＝0， ∂W/∂z＝xA ·（24－4z－xA ） ＝0。
由于 z≠0， xA ≠0， 所以： 24－2z－2xA ＝0， 24－4z－xA ＝0， 解得： z＝4， xA ＝8， xB ＝8。
所以使社会福利最大化的公共品的最佳产量是 4。