问答题
设A为n阶矩阵，证明：
【正确答案】
【答案解析】[证明] AA
*
=A
*
A=|A|E．
当r(A)=n时，|A|≠0，因为|A * |=|A| n-1 ，所以|A * |≠0，从而r(A * )=n；
当r(A)=n-1时，由于A至少有一个n-1阶子式不为零，所以存在一个M ij ≠0，进而A ij ≠0，于是A * ≠0，故r(A * )≥1，又因为|A|=0，所以AA * =|A|E=O，根据矩阵秩的性质有r(A)+r(A * )≤n，而r(A)=n-1，于是得r(A * )≤1，故r(A * )=1；
当r(A)＜n-1时，由于A的所有n-1阶子式都为零，所以A * =O，故r(A * )=O．
当r(A)=n时，|A|≠0，因为|A * |=|A| n-1 ，所以|A * |≠0，从而r(A * )=n；
当r(A)=n-1时，由于A至少有一个n-1阶子式不为零，所以存在一个M ij ≠0，进而A ij ≠0，于是A * ≠0，故r(A * )≥1，又因为|A|=0，所以AA * =|A|E=O，根据矩阵秩的性质有r(A)+r(A * )≤n，而r(A)=n-1，于是得r(A * )≤1，故r(A * )=1；
当r(A)＜n-1时，由于A的所有n-1阶子式都为零，所以A * =O，故r(A * )=O．