问答题
设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，-1，矩阵A的属于特征值1与2的特征向量分别是α
1
=(2，3，-1)
T
与α
2
=(1，a，2a)
T
，A
*
是A的伴随矩阵，求齐次方程组(A
*
-2E)x=0的通解．
【正确答案】
【答案解析】解：由A的特征值是1，2，-1，可知行列式|A|=-2，那么A
*
的特征值是-2，-1，2．于是
所以r(A * -2E)=r(A)=2．那么，(A * -2E)x=0的基础解系由一个线性无关的解向量所构成．
又因矩阵A属于λ=-1的特征向量就是A * 属于λ=2的特征向量，亦即A * -2E属于λ=0的特征向量．
由于A是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交．设矩阵A属于特征值λ=-1的特征向量是α 3 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则有
所以r(A * -2E)=r(A)=2．那么，(A * -2E)x=0的基础解系由一个线性无关的解向量所构成．
又因矩阵A属于λ=-1的特征向量就是A * 属于λ=2的特征向量，亦即A * -2E属于λ=0的特征向量．
由于A是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交．设矩阵A属于特征值λ=-1的特征向量是α 3 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则有