问答题
设A为实反对称阵，D为对角元全大于零的对角阵，则|A+D|≠0，且还有|A+D|＞0．
【正确答案】
【答案解析】(1)反证．若|A+D|=0，则(A+D)X=0有非零解．设X
1
是其一个非零解，进而有
故
因为A为实反对称阵，所以
最终得
但是D=diag(a
1
，a
2
，…，a
n
)，a
i
＞0，所以
矛盾．所以，|A+D|≠0．
(2)反证．令f(x)=|xA+D|，x∈[0，1]．
假设|A+D|＜0，因为f(0)=|D|＞0，f(1)=|A+D|＜0，由零值定理可知，存在x 0 ∈(0，1)，使得f(x 0 )=|x 0 A+D|=0．但是
其中，
为对角元全大于零的对角阵，由(1)知
故
因为A为实反对称阵，所以
最终得
但是D=diag(a
1
，a
2
，…，a
n
)，a
i
＞0，所以
矛盾．所以，|A+D|≠0．
(2)反证．令f(x)=|xA+D|，x∈[0，1]．
假设|A+D|＜0，因为f(0)=|D|＞0，f(1)=|A+D|＜0，由零值定理可知，存在x 0 ∈(0，1)，使得f(x 0 )=|x 0 A+D|=0．但是
其中，
为对角元全大于零的对角阵，由(1)知