某保险公司接受了10 000辆电动自行车的保险，每辆车每年的保费为12元．若车丢失，则赔偿车主1 000元．假设车的丢失率为0．006，对于此项业务，试利用中心极限定理，求保险公司：(1)亏损的概率α；(2)一年获利润不少于40 000元的概率β；(3)一年获利润不少于60 000元的概率γ．
【正确答案】正确答案：设X为“需要赔偿的车主人数”，则需要赔偿的金额为Y=0．1X(万元)；保费总收入C=12万元．易见，随机变量X服从参数为72，p的二项分布，其中n=10 000，p=0．006；EX=np=60，DX=np(1－p)=59．64．由棣莫弗-拉普拉斯定理知，随机变量X近似服从正态分布N(60，59．64)，随机变量Y近似服从正态分布N(6，0．596 4)． (1)保险公司亏损的概率 α=P｛Y＞12｝=
=1－Ф(7．77)≈0． (2)保险公司一年获利润不少于4万元的概率 β=P｛12－Y≥4｝=P｛Y≤8｝=
≈Ф(2．59)=0．995 2． (3)保险公司一年获利润不少于6万元的概率 γ=P｛12－Y≥6｝=P｛Y≤6｝=
=1－Ф(7．77)≈0． (2)保险公司一年获利润不少于4万元的概率 β=P｛12－Y≥4｝=P｛Y≤8｝=≈Ф(2．59)=0．995 2． (3)保险公司一年获利润不少于6万元的概率 γ=P｛12－Y≥6｝=P｛Y≤6｝=【答案解析】