【正确答案】利用A的特征值、特征向量和相关联矩阵特征值、特征向量的关系间接求出B+2E的特征值、特征向量．第二种方法是先求出矩阵A^*，再利用相似关系直接求出B+2E的特征值、特征向量．后者计算量较大．
解一 因a=3，b=2，由命题2．5．1．7知，A的三个特征值分别为
λ₁=λ₂=a一b=l， λ₃=a+(n一1)b=3+(3—1)2=7．
又由命题2．5．2．1知∣A∣=λ₁λ₂λ₃=1×l×7=7．于是A^*的三个特征值为
λ₁^*=∣A∣／λ₁=7， λ₂^*=∣A∣／λ₂=7， λ₃^*=∣A∣／λ₃=1．
因B～A^*，故B的三个特征值为μ₁=λ₁^*=7，μ₂=λ₂^*=7，μ₃=λ₃^*=1．于是B+2E的三个特征值分别为9，9，3．
先求出A的属于特征λ₁=λ₂=l及λ₃=7的特征向量．因
λ₁E一A=E—A=
故A的属于λ₁=λ₂=l的特征向量分别为η₁=[一1，1，0]^T，η₂=[一1，0，1]^T．而
λ₃E一A=7E一A=
故A的属于λ₃=7的特征向量为η₃=[1，1，1]^T．于是A^*的属于特征值 λ₁^*=λ₂^*=7， λ₃^*=1的特征向量与A的对应特征向量相同，分别为η₁，η₂，η₃．
于是，B的属于特征值μ₁=μ₂=7的特征向量可取为
β₁=P^-1η₁=， β₂=P^-1η₂=;
B的属于特征值μ₃=l的特征向量可取为
β₃=P^-1η₃=