假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y=－1}=
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)依题意P{Y=－1}=
，X～N(0，1)且X与Y相互独立，于是Z=XY的分布函数为 F
Z
(z)=P{XY≤z}=P{Y=－1}P{XY≤z｜Y=－1}+P{Y=1}P{XY≤z｜Y=1} =P{Y=－1}P{一X≤z｜Y=－1}+P{Y=1}P{X≤z，Y=1} =P{Y=－1}P{X≥一z}+P{Y=1}P{X≤z}
即Z=XY服从标准正态分布，其概率密度为
(Ⅱ)由于V=｜X—Y｜只取非负值，因此当v＜0时，其分布函数F
V
(Ⅴ)=P{｜X—Y｜≤V}=0；当v≥0时， F
V
(Ⅴ)=P{一v≤X—Y≤v} =P{Y=－1}P{一v≤X—Y≤v｜Y=－1}+P{Y=1}P{一v≤X—Y≤v｜Y=1}
=Ф(v一1)+Ф(v+1)一1． 综上计算可得
由于F
V
(Ⅴ)是连续函数，且除个别点外，导数存在，因此V的概率密度为
，X～N(0，1)且X与Y相互独立，于是Z=XY的分布函数为 F
Z
(z)=P{XY≤z}=P{Y=－1}P{XY≤z｜Y=－1}+P{Y=1}P{XY≤z｜Y=1} =P{Y=－1}P{一X≤z｜Y=－1}+P{Y=1}P{X≤z，Y=1} =P{Y=－1}P{X≥一z}+P{Y=1}P{X≤z}
即Z=XY服从标准正态分布，其概率密度为
(Ⅱ)由于V=｜X—Y｜只取非负值，因此当v＜0时，其分布函数F
V
(Ⅴ)=P{｜X—Y｜≤V}=0；当v≥0时， F
V
(Ⅴ)=P{一v≤X—Y≤v} =P{Y=－1}P{一v≤X—Y≤v｜Y=－1}+P{Y=1}P{一v≤X—Y≤v｜Y=1}
=Ф(v一1)+Ф(v+1)一1． 综上计算可得
由于F
V
(Ⅴ)是连续函数，且除个别点外，导数存在，因此V的概率密度为
【答案解析】解析：由于Y为离散型随机变量，X与Y独立，因此应用全概率公式可得分布函数，进而求得概率密度．