【正确答案】解一 根据A的结构特点：主对角线上的元素全为a=1，非主对角线上的元素全为b，由命题2．5．1．7即得到A的特征值为λ₁=1+(n－1)b，λ₂=λ₃=…=λ_n=1－b．
解二

令f(x)=x+1－b，则f(B)=B+(1－b)E．如能求出B的特征值，则f(B)=B+(1－b)E的特征值即可求出．事实上，因秩(B)=1，由命题2．5．1．5即知B的特征值为λ₁=b+b+…+b=nb，λ₂=λ₃=…=λ_n=0，故f(B)即A=B+(1－b)E的特征值为f(λ₁)=nb+1－b=(n－1)b+1， f(λ₂)=f(λ₃)=…f(λ_n)=0+(1－b)=1－b．
下面求A的特征向量，首先求属于特征值λ₁=1+(n－1)b的A的特征向量．由命题2．5．1．4即知α₁=[1，1，…，1]^T为属于特征值λ₁=1+(n一1)b的A的特征向量，所以A的属于λ₁的全部特征向量为kα₁(k为非零的任意常数)．
再求A的属于特征值λ₂=λ₃=…=λ_n=1-b的特征向量．为此求(λ₂E—A)X=0的基础解系．对λ₂E一A以初等行变换，得到

【正确答案】当b=0时，A的特征值为λ₁=λ₂=…=λ_n=1，任意非零列向量均为特征向量．因为这时A=E，对任意α≠0有Aα=Eα=α=1·α．
①当b≠0时，A有n个线性无关的特征向量α₁，α₂，…，α_n，令P=[α₁，α₂，…，α_n]，则
P^-1ΛP=A=diag(1+(n－1)b，1－b，…，1－b)．
②当b=0时，因A=E，则对任意可逆矩阵P，均有P^－1AP=E．