解答题
15.设f(x)在[a，b](a＞0)上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，证明存在ξ，η∈(a，b)使
【正确答案】令F(x)=xnf(x)，在[a，b]上应用拉格朗日中值定理，则
，使
再对G(x)=xn在[a，b]上应用拉格朗日中值足理，则
，使
从而nηn-1=nξn-1f(ξ)+ξnf’(ξ)，即
，使再对G(x)=xn在[a，b]上应用拉格朗日中值足理，则
，使从而nηn-1=nξn-1f(ξ)+ξnf’(ξ)，即
【答案解析】本题考查中值问题．欲证之式可写成nηn-1=nξn-1+ξnf’(ξ)，左端为(xn)'｜x=n，右端为 (xnf(x))'｜x=ξ．式子中出现一个抽象函数和两个中值ξ，η，考虑利用两次拉格朗日中值定理．