设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，在X=x(一∞＜x＜+∞)的条件下，随机变量Y服从正态分布N(x，1)，求在Y=y条件下关于X的条件概率密度．
【正确答案】正确答案：依题意，X的概率密度为 f
X
(x)=
． 在X=x的条件下，关于Y的条件概率密度为 f
Y｜X
(y｜x)=
． 根据条件概率密度的定义可得X与Y的联合概率密度为 f(x，y)=f
X
(x)．f
Y｜X
(y｜x)=
． 根据二维正态分布的性质可知，二维正态分布(X，y)的边缘分布是一维正态分布，于是y的概率密度为 f
Y
(y)=
． 根据条件密度的定义可得 f
X｜Y
(x｜y)=
． 进一步分析，可将f
X｜Y
(x｜y)改写为如下形式： f
X｜Y
(x｜y)=
． 从上面式子可以看出，在Y=y条件下关于X的条件分布是正态分布
． 在X=x的条件下，关于Y的条件概率密度为 f
Y｜X
(y｜x)=
． 根据条件概率密度的定义可得X与Y的联合概率密度为 f(x，y)=f
X
(x)．f
Y｜X
(y｜x)=
． 根据二维正态分布的性质可知，二维正态分布(X，y)的边缘分布是一维正态分布，于是y的概率密度为 f
Y
(y)=
． 根据条件密度的定义可得 f
X｜Y
(x｜y)=
． 进一步分析，可将f
X｜Y
(x｜y)改写为如下形式： f
X｜Y
(x｜y)=
． 从上面式子可以看出，在Y=y条件下关于X的条件分布是正态分布
【答案解析】解析：依题意已知X的分布及关于Y的条件分布，因此我们很容易求出X与Y的联合分布，然后直接应用条件密度公式求f
X｜Y
(x｜y)．