解答题
设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，且
问答题
存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=0；
【正确答案】
【答案解析】[证] 由于f(x)在[0，1]上连续，
所以，f(0)=0，f(1)=0．
且有
因为
由函数保号定理，存在δ1＞0，使得在(0，δ1)内，
x＞0．所以f(x)＞0，在(0，δ1)内任取一点，于是f(x1)＞0；
又
由函数保号定理，存在δ2＞0，使得在(1-δ2，1)内，
x-1＜0．所以f(x)＜0，在(1-δ2，1)内任取x2，于是f(x2)＜0．
于是，f(x1)f(x2)＜0，由零点定理，存在ξ∈(x1，x2)
所以，f(0)=0，f(1)=0．
且有
因为
由函数保号定理，存在δ1＞0，使得在(0，δ1)内，x＞0．所以f(x)＞0，在(0，δ1)内任取一点，于是f(x1)＞0；又
由函数保号定理，存在δ2＞0，使得在(1-δ2，1)内，x-1＜0．所以f(x)＜0，在(1-δ2，1)内任取x2，于是f(x2)＜0．于是，f(x1)f(x2)＜0，由零点定理，存在ξ∈(x1，x2)
问答题
存在η∈(0，1)，使得f"(η)=f(η)．
【正确答案】
【答案解析】[证] 问题证明，结论开始．
分析：欲证f"(η)-f(η)=0．
令f"(x)-f(x)=0，即y"-y=0，对应特征方程
r2-1=0，r=±1，
y=C1e-x或y=C2ex，即f(x)=C1e-x或f(x)=C2ex，
即有exf(x)=C1或e-xf(x)=C2．
证明：先取F(x)=exf(x)，F(0)=F(ξ)=F(1)．
由罗尔定理，在(0，ξ)，(ξ，1)内分别存在ξ1，ξ2使得
F'(ξ1)=eξ1[f(ξ1)+f'(ξ1)]=0，
F'(ξ2)=eξ2[f(ξ2)+f'(ξ2)]=0．
∴f(ξ1)+f'(ξ1)=0，f(ξ2)+f'(ξ2)=0．
再取G(x)=e-x[f(x)+f'(x)]，于是G(ξ1)=G(ξ2)=0，由罗尔定理，存在η∈(ξ1，ξ2)
分析：欲证f"(η)-f(η)=0．
令f"(x)-f(x)=0，即y"-y=0，对应特征方程
r2-1=0，r=±1，
y=C1e-x或y=C2ex，即f(x)=C1e-x或f(x)=C2ex，
即有exf(x)=C1或e-xf(x)=C2．
证明：先取F(x)=exf(x)，F(0)=F(ξ)=F(1)．
由罗尔定理，在(0，ξ)，(ξ，1)内分别存在ξ1，ξ2使得
F'(ξ1)=eξ1[f(ξ1)+f'(ξ1)]=0，
F'(ξ2)=eξ2[f(ξ2)+f'(ξ2)]=0．
∴f(ξ1)+f'(ξ1)=0，f(ξ2)+f'(ξ2)=0．
再取G(x)=e-x[f(x)+f'(x)]，于是G(ξ1)=G(ξ2)=0，由罗尔定理，存在η∈(ξ1，ξ2)