解答题
19.设f(x)，g(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内二阶可导，f(a)=f(b)=0,
且g(x)≠0,(x∈[a,b]),g"(x)≠0,(a﹤x﹤b),证明：存在ε∈（a,b)，使得
且g(x)≠0,(x∈[a,b]),g"(x)≠0,(a﹤x﹤b),证明：存在ε∈（a,b)，使得
【正确答案】设f'+(a)＞0,f'(-)＞0,
由f'+(a)＞0，存在x1∈(a,b),使得f(x1)＞f(a)=0；
由f'(-)＞0,存在x2∈(a,b),使得f(x2)＜f(a)=0；
因为f(x1)f(x2)＜0,所以由零点定理，存在c∈（a,b),使得f(c)=0.
令h(x)=
,显然h(x)在[a,b]上连续，由h(a)=h(c)=h(b)=0,存在ε1∈(a,c),ε2∈(c,b),使得h'(ε1)=h'(ε2)=0,
而h'(x)=
令Φ（x）=f'(x)g(x)-f(x)g'(x),Φ(ε1)=Φ(ε2)=0,
由罗尔定理，存在ε∈（ε1，ε2）
(a,b),使得Φ'（ε）=0,
而Φ'（x）=f"(x)g(x)-f(x)g"(x),所以
由f'+(a)＞0，存在x1∈(a,b),使得f(x1)＞f(a)=0；
由f'(-)＞0,存在x2∈(a,b),使得f(x2)＜f(a)=0；
因为f(x1)f(x2)＜0,所以由零点定理，存在c∈（a,b),使得f(c)=0.
令h(x)=
,显然h(x)在[a,b]上连续，由h(a)=h(c)=h(b)=0,存在ε1∈(a,c),ε2∈(c,b),使得h'(ε1)=h'(ε2)=0,而h'(x)=
令Φ（x）=f'(x)g(x)-f(x)g'(x),Φ(ε1)=Φ(ε2)=0,
由罗尔定理，存在ε∈（ε1，ε2）
(a,b),使得Φ'（ε）=0,而Φ'（x）=f"(x)g(x)-f(x)g"(x),所以
【答案解析】